Question

2)se dau dreptele y=3x+5 si ax+4y=1
A) sa se determine a aparține R pt.care dreptele sunt paralele
B) sa se afle Intersecțiile cu axele de coordonate
C) dacă dreptele sunt perpendiculare sa se afle punctul de intersecție al acestora

Answer 1

   
[tex]d_1 : ~~~y=3x-5 \\ d_2: ~~~ax+4y=1 \\ \texttt{(Aducem ecuatiile la forma carteziana:)} \\ d_1 : ~~~3x-y-5=0 \\ d_2: ~~~ax+4y-1=0 \\ \\ \texttt{Calculam pantele:} \\ m_1 = - \frac{3}{-1} = 3 \\ m_2 = \frac{-a}{4} \\ a) \\ \texttt{Dreptele sunt paralele daca pantele sunt egale. } \\ m_2 = m_1 \\ \frac{-a}{4} =3 ~~\Longrightarrow~~a = -3 \times 4 = \boxed{-12} [/tex]


[tex]b) \\ d_1 : ~~~3x-y-5=0 \\ d_2: ~~~-12x+4y-1=0 \\ \text{Pentru a afla intersectia cu axa Ox, il facem pe y=0} \\ 3x-5=0 =\ \textgreater \ x= \frac{5}{3} ~~=\ \textgreater \ A1_x(\frac{5}{3}, ~0) \\ -12x-1 = 0 =\ \textgreater \ x= \frac{1}{-12} ~~=\ \textgreater \ A2_x(-\frac{1}{12}, ~0) \\ \text{Pentru a afla intersectia cu axa Oy, il facem pe x=0} \\ -y-5=0 =\ \textgreater \ y=-5 =\ \textgreater \ A1_y(0,~-5) \\ 4y-1=0 =\ \textgreater \ y = \frac{1}{4} =\ \textgreater \ A2_y(0,~\frac{1}{4} ) [/tex]


[tex]c) \\ d_1 : ~~~3x-y-5=0 \\ d_2: ~~~ax+4y-1=0 \\ m_1 = - \frac{3}{-1} = 3 \\ m_2 = \frac{-a}{4} \\ \texttt{Dreptele sunt perpendiculare daca: } \\ m2 = -\frac{1}{m1} \\ \\ \frac{-a}{4} = - \frac{1}{3} \\ -a = - \frac{4}{3} \\ a= \frac{4}{3} \\ \\ =\ \textgreater \ d_2: ~~~\frac{4}{3}x+4y-1=0 ~~~=\ \textgreater \ ~~~4x + 12y -3=0 [/tex]


[tex]\text{Pentru a afla punctul lor de intersectie, rezolvam sistemul de ecuatii:} \\ 3x-y-5=0 \\ 4x + 12y -3=0 \\ --- \\ 3x-y=5 ~~~~~=\ \textgreater \ ~~ Substitutis:~~~ \boxed{y = 3x-5 }\\ 4x + 12y =3 \\ --- \\ 4x+12(3x-5)=3 \\ 4x+36x -60 =3 \\ 40x = 63 \\ x = \frac{63}{40} \\ \text{Ne intoarcem la substitutie.} \\ y = 3x-5 = 3\times \frac{63}{40} -5 = \frac{3\times 63-200}{40}= \frac{189-200}{40} \\ \text{Punctul de intersectie este:} ~~~ \boxed{B\Big(\frac{63}{40}, ~\frac{-11}{40} \Big)}[/tex]