Question

20)b) Aratati ca numarul B=123 345 nu este patrat perfect.
c)Aratati ca numarul C=12 345 678 nu este patrat perfect.

d) Aratati ca numarul A= 2³⁰ + 2³¹ + 2 ³² este divizibil cu 7.
e)Aratati ca numarul B=3³⁰ +3 ³²+ 3 ³⁴ este divizibil cu 13.

f) Aratati ca numarul B= 1+3¹+3²+ ... +2⁶¹ este divizibil cu 4.
g) Aratati ca numarul C=1+2¹+2²+...+2⁷¹ este divizibil cu 5.

(Vreau rezolvare mai scurta.)

Answer 1

b) 123345= $3^{3} * 5*7*127$ nu este patrat perfect
c) 12345678 nu este patrat perfect deoarece ultima cifra este 8 
d) A= $2^{30} *(1+2+ 2^{2} )= 2^{30} *(1+2+4)= 2^{30} *7$ deci este divizibil cu 7
e) B= $3^{30} *(1+3+ 3^{2})= 3^{30} *(1+3+9)= 3^{30} *13$ deci este divizibil cu 13
f) presupunand ca ultimul termen este $3^{61}$ grupam termenii cate doi si dam factor comun incepand cu al treilea termen astfel :
 B=1+3+$3^{2} *(1+3)+......+ 3^{60} *(1+3)= 4+4* 3^{2} +.....+4* 3^{60} =4*( 3^{2} +$...$+ 3^{60}$ ) deci este divizibil cu 4
g) grupam termenii cate trei si dam factor comun astfel:
C= 1+2+$2^{2} + 2^{3} *(1+2+ 2^{2} )+... 2^{69}*(1+2+ 2^{2} )=5+ 2^{3} *5+...+ 2^{69} *5$ =5*(1+ $2^{3} +...+ 2^{69} )$ deci este divizibil cu 5