Question

25. Fără a rezolva ecuaţia, să se găsească suma pătratelor rădăcinilor ecuaţiei: (x²+2x)²-5(x²+2x) + 3 = 0.​

Answer 1

Răspuns:

Fie $x^2+2x=y$. Se obține ecuația $y^2-5y+3=0$, cu rădăcinile $y_1,y_2$.

$y_1+y_2=5, \ y_1y_2=3$.

Rădăcinile ecuației în x se obțin din ecuațiile

$x^2+2x-y_1=0\Rightarrow x_1,x_2\\x^2+2x-y_2=0\Rightarrow x_3,x_4$

Avem

$x_1+x_2=-2, \ x_1x_2=-y_1\\x_3+x_4=-2, \ x_3x_4=-y_2$

Atunci

$x_1^2+x_2^2+x_3^2_x_4^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2+(x_3+x_4)^2-2x_3x_4=\\=4+2y_1+4+2y_2=8+2(y_1+y_2)=8+10=18$

Explicație pas cu pas: