Question

25. O grădină are forma päătratului ABCD cu AB- 300 m. Pe laturile AB, BC, CD şi DA se consideră punctele M, N, P,
respectiv Qastfel încât MB-NC-PD-QA-100 m (figura 25).
a) Arătaţi că MNPQ este un pătrat.
b) Cât costă să acoperim cu gazon suprafaţa MNPQ, dacă 1 m² de gazon costă 22 lei.
M
In Se stie că AB= MN-

Answer 1

Răspuns:

ABCD pătrat, AB=300m, MB=NC=PD=QA=100cm

a) Trasăm PR⊥AB, R∈AB.Deci ADPR dreptunghi, AR=DP=100m.

RM=AB-AR-MB=300-100-100, ⇒ RM=100m, PR=AD=300m

Din ΔPRM, ⇒ MP²=RM²+PR²=100²+300²=100²·1+100²·3²=100²·(1+3²)=100²·10

Deci, MP=10√10 m

În ΔBMN, dreptunghic în B, MB=100, BN=200. ⇒MN²=MB²+BN²=100²+200²=100²·1+100²·2²=100²·(1+2²)=100²·5. Deci MN=10√5m.

La fel, din ΔCNP, PN=10√5m.

b) După crit. CC (catetă, catetă), ⇒ΔBMN≡ΔCNP≡DPQ≡ΔAQM. ⇒∡BNM=∡CPN. Dar, în ΔCNP, ∡C=90°, ⇒∡CPN+∡CNP=90°, ⇒∡BNM+∡CNP=90°. Dar ∡BNM+∡MNP+∡CNP=180°, ⇒∡MNP+90°=180°, ⇒∡MNP=180°-90°=90°.