Question

3. Fie patrulaterul ABCDF şi M, N, L, Q mijloacele laturilor [AB], [BC], [CD], [DA]. Fie G punctul de intersecție al segmentelor [ML] şi [QN]. Arătaţi că: a) GA + GB + GC + GD = 0, b) PA + PB + PC + PD = 4 PG, pentru orice punct P = P 3. Fie patrulaterul ABCDF şi M , N , L , Q mijloacele laturilor [ AB ] , [ BC ] , [ CD ] , [ DA ] . Fie G punctul de intersecție al segmentelor [ ML ] şi [ QN ] . Arătaţi că : a ) GA + GB + GC + GD = 0 , b ) PA + PB + PC + PD = 4 PG , pentru orice punct P = P​

Answer 1

ATENTIE! patrulaterul este ABCD, nu ABCDF

a) Stim ca intr-un paralelogram diagonalele se injumatatesc.

Aplicand regula paralelogramului la adunarea vectorilor GA si GB se obtine vectorul GR care este egal cu 2GN

Asemanator pentru GB si GC se obtine GR' care este egal cu 2GQ.

De ce GQ=-GN?(referindu-ne la vectori)

Se traseaza diagonala AC

In triunghiul ADC avem MQ linie mijlocie => MQ este jumatate din AC (1)

In triunghiul ABC avem NL linie mijlocie => NL este jumatate din AC (2)

Din (1) si (2) => MQ=NL si MQ || NL (*)

Se traseaza diagonala BD

In triunghiul DCB avem MN linie mijlocie => MN este jumatate din BD  si MN || BD(3)

In triunghiul ABD avem QL linie mijlocie => QL este jumatate din BD  si QL || BD  (4)

Din (3) si (4) => MN=QL si MN || QL  (**)

DIN (*) si (**) reiese ca MNLQ paralelogram => diagonalele sunt egale si se injumatatesc => GQ=GN si GM=GL

b) (evident vectori)

PG = PA+AG=PA-GA

PG = PB+BG=PB-GB

PG = PC+CG=PC-GC

PG = PD+DG=PD-GD

Se aduna relatiile:

4PG=(PA+PB+PC+PD)-(GA+GB+GC+GD)

Din a) => GA+GB+GC+GD=0

Deci:  4PG=(PA+PB+PC+PD)