Question

32 10 Determinați ultima cifră a numerelor: a a=2+2²+2³+...+245; Soluție. a Grupăm termenii din sumă câte patru și obținem: a = (2+2²+2³+24) + (25+2° +27 +28) +...+(24¹ +242 +243 +244) + 245. Cum ultima cifră a puterilor lui 2 se repetă din 4 în 4, ultima cifră a sumei din fiecare paranteză este egală cu u(2¹+ 2² +2³+24) = 0. Fiind 11 grupe, rezultă u(a) = u(11 · 0+245) = u(245) = 2. Altă soluție. Determinăm mai întâi forma cea mai scurtă a numărului a, astfel: din 2. a = 2.(2+ 2² +2³+...+245) = 2² +2³ + 24 + ... +245 +246 scădem a= 2 + 2² +2³+ ... + 2ª⁹. Rezultă a = 246 - 2. Apoi U(246) = U(244+2) = U(2²) = 4, deci (fa) = 2. b b = 7+7²+7³+...+ 743;​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Answer 2

Explicație pas cu pas:

c) c = 3⁰ + 3¹ + 3² + 3³ + ... + 3⁴²

Soluție:

Grupăm termenii din sumă câte patru și obținem:

c = (3⁰ + 3¹ + 3² + 3³) + (3⁴ + 3⁵ + 3⁶ + 3⁷) + ... + (3³⁶ + 3³⁷ + 3³⁸ + 3³⁹) +3⁴⁰ + 3⁴¹ + 3⁴²

Cum ultima cifră a puterilor lui 3 se repetă din 4 în 4, ultima cifră a sumei din fiecare paranteză este egală cu U(3⁰ + 3¹ + 3² + 3³) = U(40) = 0

Fiind 10 grupe, rezultă:

U(c) = U(10×0 + 3⁴⁰ + 3⁴¹ + 3⁴²) = U(3⁴⁰ + 3⁴¹ + 3⁴²) = U((3⁴⁰×(1+3¹+3²)) = U((u(3⁴)¹⁰)×U(13)) = U(1×3) = 3

Deci: U(c) = 3

Altă soluție:

Determinăm mai întâi forma cea mai scurtă a numărului c, astfel:

înmulțim cu 3: 3×c = 3×(3⁰ + 3¹ + 3² + 3³ + ... + 3⁴²) = 3¹ + 3² + 3³ + ... + 3⁴² + 3⁴³

adunăm 3⁰: 3×c + 1 = 3⁰ + 3¹ + 3² + 3³ + ... + 3⁴² + 3⁴³

scădem c = 3⁰ + 3¹ + 3² + 3³ + ... + 3⁴²

rezultă: 2×c + 1 = 3⁴³, adică 2×c = 3⁴³ - 1

Apoi U(2×c) = U(3⁴³-1) = U((U(3⁴³)-1) = U(U(3⁴)¹⁰×U(3³)-1) = U(1×7-1) = U(7-1) = 6

împărțim la 2, deci U(c) = 3

d) d = 8 + 8² + 8³ + ... + 8³⁸

Soluție:

Grupăm termenii din sumă câte patru și obținem:

d = (8¹ + 8² + 8³ + 8⁴) + (8⁵ + 8⁶ + 8⁷ + 8⁸) +...+ (8³³ + 8³⁴ + 8³⁵ + 8³⁶) + 8³⁷ + 8³⁸

Cum ultima cifră a puterilor lui 8 se repetă din 4 în 4, ultima cifră a sumei din fiecare paranteză este egală cu U(8¹ + 8² + 8³ + 8⁴) = U(4680) = 0

Fiind 9 grupe, rezultă U(d) = U(9×0 + 8³⁷ + 8³⁸) = U(8³⁷ + 8³⁸) = U(U(8³⁶×8) + U(8³⁶×8²)) = U(U(8) + U(8²)) = U(8 + 64) = U(72) = 2

Deci: U(d) = 2