Question

32) cititi enunturile si rezolvati cerintele.
a) aratati ca numarul A=2+2^2+2^3+...+2^60 este divizibil cu 6
b) aratati ca numarul A= 3^0+3^1+3^2+...+3^44 este divizibil cu 13
VA ROG ESTE URGENT!!!

​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

a)

observăm că:

$2 + {2}^{2} = 6$

suma are 60 de termeni, pe care îi putem grupa câte doi:

$A = 2 + {2}^{2} + {2}^{3} + ... + {2}^{60} = (2 + {2}^{2}) + ({2}^{3} + {2}^{4}) + ... + ({2}^{59} + {2}^{60}) = (2 + {2}^{2}) + {2}^{2} \cdot (2 + {2}^{2}) + ... + {2}^{58} \cdot (2 + {2}^{2}) = (2 + {2}^{2}) \cdot (1 + {2}^{2} + ... + {2}^{58}) = 6 \cdot (1 + {2}^{2} + ... + {2}^{58}) \ \red{ \bf \vdots \ 6}$

=> numărul A este divizibil cu 6

b)

observăm că:

${3}^{0} + {3}^{1} + {3}^{2} = 1 + 3 + 9 = 13$

suma are 45 de termeni, pe care îi putem grupa câte trei:

$A = ({3}^{0} + {3}^{1} + {3}^{2}) + ({3}^{3} + {3}^{4} + {3}^{5}) + ... + ({3}^{42} + {3}^{43} + {3}^{44})$

$= ({3}^{0} + {3}^{1} + {3}^{2}) + {3}^{3} \cdot ({3}^{0} + {3}^{1} + {3}^{2}) + ... + {3}^{42} \cdot ({3}^{0} + {3}^{1} + {3}^{2})$

$= ({3}^{0} + {3}^{1} + {3}^{2}) \cdot (1 + {3}^{3} + ... + {3}^{42} )$

$= 13 \cdot (1 + {3}^{3} + ... + {3}^{42} ) \red{\bf \ \vdots \ 13}$

=> numărul A este divizibil cu 13