Question

38. Se consideră expresia E(x) = (2x - 3)²-2(x - 3)² - (x + 2)² - 2(x - 11), unde x este un număr real. a) Arătaţi că E(x) = (x-3)², pentru orice număr real x. b) Determinaţi numărul natural a, astfel încât
$n = E(2 + \sqrt{3} ) + a \sqrt{3}$ , sa reprezinte un număr natural
Dau coroana

​

Answer 1

Răspuns:

a) se elimină parantezele, se reduc termenii asemenea și se demonstrează egalitatea cerută.

b) n este număr natural dacă a = 2

Explicație pas cu pas:

a)

E(x) =  (2x - 3)²-2(x - 3)² - (x + 2)² - 2(x - 11)

E(x) = 4x² - 12x + 9 -2(x²- 6x + 9) - x² - 4x - 4 - 2x + 22

E(x) = 4x² - 12x + 9 -2x²+ 12x -18 - x² - 4x - 4 - 2x + 22

E(x) = x² - 6x + 9

E(x) = (x - 3)²

b)

Ne folosim de rezultatul de la punctul a):  E(x) = (x - 3)²

$n = E(2+\sqrt{3} ) + a\sqrt{3}$

$n = [(2+\sqrt{3} - 3]^{2} + a\sqrt{3}$

$n = (\sqrt{3} - 1)^{2} + a\sqrt{3}$

$n = 3 - 2\sqrt{3} + 1 + a\sqrt{3}$

$n = 4 - 2\sqrt{3} + a\sqrt{3}$

$n = 4 - \sqrt{3} (2 - a)$

Pentru ca n să fie număr natural, trebuie ca partea irațională să fie egală cu zero, ceea ce înseamnă

$\sqrt{3} (2 - a) = 0$

Adică 2 - a = 0 ⇒ a = 2

Pentru a = 2 ⇒ n = 4 ∈ N