Question

4. in figura aläturatà este reprezentat trapezul dreptunghic ABCD, cu AB || CD,
M
AB> CD. «A = *D = 90°, AD = 843 cm, BC = 16 cm, *BCD = 120° si AB =
=2CD, iar punctul M este mijlocul laturii BC.
a) Demonstreazà cà dreptele AC si MD sunt perpendiculare.
b) Calculeazà aria trapezului ABCD.

Answer 1

Răspuns:

a) AC ⊥ MD; b) 96√3 cm²

Explicație pas cu pas:

notăm AC ∩ DM = {P}

ducem CN ⊥ AB, N ∈ AB

CD ≡ AN

AB = 2CD => AN ≡ BN ≡ CD

∢BCD = 120° => ∢BCN = 120° - 90° = 30°

∢CBN = 90°-∢BCN = 90°-30° => ∢CBN = 60°

=> ∢ABC = 60°

în ΔBCN dreptunghic, BN este cateta opusă unghiului de 30° => BN = ½×BC = ½×16 => BN = 8 cm

=> CD = 8 cm

AB = 2CD => AB = 16 cm

din: AB ≡ BC, ∢ABC = 60° => ΔABC este echilateral

=> ∢BAC = 60°

M este mijlocul laturii BC => CM = ½×BC

=> CM = 8 cm

CM ≡ CD => ΔDCM este isoscel

=> ∢CDM ≡ ∢CMD

∢CMD = ½×(180°-120°) = 30°

∢BMP = 180°-∢CMD = 180°-30° = 150°

în patrulaterul ABMP:

∢APM = 360°-(∢BAC+∢ABC+∢BMP)

=> ∢APM = 90° => AC ⊥ MD

b)

Aria(ABCD) = ½×(AB+CD)×AD = ½×(16+8)×8√3 = 24×4√3 = 96√3 cm²