Question

4. În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O, în care este înscris patrulaterul MNPQ. Latura NP subîntinde un arc de cerc de 60°, latura MQ subîntinde un arc de cerc de 120°, iar diagonala MP = 24 cm corespunde unui unghi la centru de 120°. a) Demonstrează că ON 1 MP. b) Arată că perimetrul patrulaterului MNPQ este mai mic decât 76,8 cm.​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

a)

∢MOP = 120° => m(arc MNP) = 120° => m(arc MN) = 60° => m(arc PQ) = 360° - (120°+120°) = 120°

m(arc NMQ) = 60° + 120° = 180°

m(arc NPQ) = 60° + 120° = 180°

=> NQ este diametru => NQ⊥MP

O∈NQ => ON⊥MP

b)

m(arc MQ) = 120° => ∢MPQ = 60°

∢MOP = 120° => ∢MQP = 60°

=> ΔMPQ este echilateral

=> MP = MQ = PQ = 24 cm

NQ⊥MP => QO⊥MP => QO este înălțime => QO este bisectoare => ∢NQM = 30° => NQ = 2MN

NQ este diametru => ΔNMQ este dreptunghic

T.Pitagora:

NQ² = MN²+MQ² <=> 4MN² = MN²+24²

3MN² = 576 => MN = 8√3 cm

MN ≡ NP => NP = 8√3 cm

Perimetrul (MNPQ) = 2×(24+8√3) = 16×(3+√3) cm

√3<1,74 => 16×(3+√3) < 16×4,74 = 75,84

=> Perimetrul (MNPQ) < 76,8 cm

q.e.d.