4. În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O şi rază R = 8 cm, pe care se iau punctele B, A, C, astfel încât AB=AC = 60°. a) Arată că perimetrul patrulaterului ABOC este egal cu 32 cm. b) Determină aria triunghiului ABC.
(punctul b il vreau)
Răspunsuri la întrebare
Conform teoremei cosinusului:
AB²=BO²+AO²-2*BO*AO*cosAOB=
=64+64-2*8*8*cos60=
=128-128*1/2=
=128-64=64
AB=√64=8
Aplicand acelasi procedeu in triunghiul AOC, vom obtine
AC=8
OB si OC sunt 8 pentru ca sunt raze ale cercului.
Inseamna ca perimetrul lui ABOC este:
P=AB+BO+OC+AC=8+8+8+8=32
Din nou folosim teorema cosinusului in triunghiul BOC si avem:
BC²=BO²+OC²-2*BO*OC*cosBOC=
=64+64-2*8*8*cos120=
=128-128*(-1/2)=
=128+64=
=192
BC=√192=8√3
Triunghiul ABC este isoscel pentru ca AB=AC=8 (am aratat mai sus).
Inseamna ca inaltimea din A va fi si mediana, adica va trece prin mijlocul lui BC.
Aplicam Pitagora intr-unul dintre cele doua triunghiuri dreptunghice si obtinem:
h²+(BC/2)²=AB²
h²+(4√3)²=64
h²=64-48=16
h=4
Atunci aria triunghiului ABC va fi:
h*BC/2=4*8√3/2=32√3/2=16√3