Question

4) În figura alăturată este reprezentat un
dreptunghi ABCD cu BC = 6 cm şi perimetrul
egal cu 42 cm. Fie M un punct pe segmentul
CD astfel încât DM = 3 cm.
a) Arată că AB = 15 cm.
b) Determină lungimea segmentului CP, unde
P este punctul de intersecție a dreptelor AC
ci MB.

Answer 1

a)

P = 2 · L + 2 · l

⇔ 42 = 2L + 12

⇒ 2L = 30  ⇒ L = 15 (cm)

AB = 15 cm

b)

Singura variantă de demonstrație pe care am găsit-o folosește asemănarea triunghiurilor, pe care o putem demonstra în două moduri:

• cazul de asemănare U.U.:

AB║MC cu AC secantă  ⇒  ∡CAB ≡ ∡MCA (alt. int.)

AB║MC cu MB secantă  ⇒  ∡MBA ≡ ∡CMP (alt. int.)

⇒ ΔABP ~ ΔCPM

• teorema fundamentală a asemănării

Avem ΔABP și paralela MC la latura AB.

MC formează cu prelungirile laturilor AP și BP un triunghi, anume ΔCPM

⇒ ΔABP ~ ΔCPM

Știind că  ΔABP ~ ΔCPM, scriem raportul de asemănare:

MC / AB = CP / AP (latura MB nu ne ajută, nu o luăm în considerare)

MC = DC - DM = 15 - 3 = 12 cm

AB = 15 cm

AP nu-l cunoaștem, dar putem afla AC și folosim proporția derivată:

MC / (AB + MC) = CP / (CP + AP)

MC / (AB + MC) = CP / AC

Diagonala AC o calculăm din ΔABC dreptunghic în B, cu Pitagora:

AC = √(15² + 6²) = √3²(5² + 2²) = 3√29

Revenim la proporția de mai sus:

MC / (AB + MC) = CP / AC

12 / (15 + 12) = CP / 3√29

CP = 12 · 3√29 / 27

CP = 4√29 / 3