Question

4. În figura alăturată este reprezentat un triunghi ABC cu AB=12 cm, BC = 9 şi AC-15 cm. Punctul D este simetricul punctului B față de mijlocul segmentului AC, punctul M este mijlocul segmentului CD şi N este punctul de intersecție a dreptelor BM şi AC. b) Determină distanţa de la punctul N la dreapta AB.​

Answer 1

Răspuns:

NQ = 6 cm

Explicație:

demonstrația are mai multe etape:

1. arătăm că ΔABC este dreptunghic

2. arătăm ca ABCD și PQBC sunt dreptunghiuri

3. stabilim raportul de asemănare între ΔNCM și ΔNAB

4. aplicăm acest raport la înălțimile din N ale celor două triunghiuri

1. lungimile laturilor ΔABC verifică relația

AB² + BC² = AC², deoarece 12² + 9² = 225 = 15²

⇒  ΔABC dreptunghic în B

2. notăm cu O mijlocul lui AC  ⇔ AO ≡ OC

prin construcție BO ≡ OD

⇒ în ABCD diagonalele se înjumătățesc și un unghi este de 90°

⇒ ABCD dreptunghi ⇔ AB ≡ CD și AB║CD

notăm cu Q piciorul perpendicularei din N pe AB

notăm cu P intersecția NQ ∩ CD

∡NQB = ∡QBC = ∡BCP = 90°  ⇒  ∡CPN = 90°

⇒ PQBC dreptunghi și NP înălțime în ΔMNC

3.

∡MCN ≡ ∡NAB (alt. int.)  }

∡CMN ≡ ∡ABN (alt. int.)   }  ⇒ ΔNCM ≈ ΔNAB

∡MNC ≡ ∡BNA (op. la v.)  }

cum MC = CD / 2 = AB / 2

⇒ raportul de asemănare este MC / AB = 1 / 2

4.

raportul de asemănare se aplică tuturor liniilor importante din triunghi

⇒ NP / NQ = 1 / 2

aplicăm proporții derivate:

(NP + NQ) / NQ = (1 + 2) / 2

NP + NQ = PQ = BC = 9 cm

9 / NQ = 3 / 2

NQ = 18 / 3

NQ = 6 cm