Question

4 Pe bisectoarele (BE şi (CD ale triunghiului isoscel ABC (AB = AC, E & AC, D E AB) se iau punctele F și G astfel încât BF = CG şi A & FG. Demonstrați că: a BE = CD şi BG = CF; b triunghiurile BCI şi AGF sunt isoscele, unde {I} = BG CF.​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

A ∈ FG

a) ΔABC este isoscel => ∢ABC ≡ ∢ACB

(BE şi (CD sunt bisectoare

∢ABE = ½×∢ABC și ∢ACD = ½×∢ACB

=> ∢ABE ≡ ∢ACD (1)

din (1), AB ≡ AC (ipoteză), ∢A≡∢A

=> ΔABE ≡ ΔACD (cazul U.L.U.)

=> BE ≡ CD

din (1), BF ≡ CG și AB ≡ AC (ipoteză)

=> ΔABF ≡ ΔACG (cazul L.U.L.)

∢AFB ≡ ∢AGC (2)

din (1), (2) și BF ≡ CG (ipoteză)

=> ΔBFG ≡ ΔCGF

=> BG ≡ CF

b) din a) ∢GBF ≡ ∢FCG

∢FBC ≡ ∢GCB

=> ∢GBF + ∢FBC = ∢FCG + ∢GCB

=> ∢GBC ≡ ∢FCB <=> 180° - ∢GBC = 180° - ∢GBC

=> ∢IBC ≡ ∢ICB => ΔBCI este isoscel

(din ipoteză: A ∈ FG, adică punctele A, G și F sunt coliniare, deci AGF nu poate fi un triunghi !!)