Question

4. Se considera parabola de ecuatie y=-3x2 + 4x + 7
a) Sa se determine me R stiind ca dreapta de ecuatie y=mx+1 intersecteaza
parabola in doua puncte distincte (este secanta parabolei)
b) Pentru ce valori ale lui n e R dreapta de ecuatie y=-8x+n are un singur punct
comun cu parabola?
Vă rog să răspundeți mult de tot. ​.

Answer 1

Explicație pas cu pas:

$y = - 3 {x}^{2} + 4x + 7$

a)

$y = mx + 1$

$(S)\left \{ {{y = - 3 {x}^{2} + 4x + 7} \atop {y = mx + 1}} \right.$

Dacă dreapta de ecuație y = mx + 1 intersectează parabola în două puncte distincte, sistemul (S) are două soluții distincte (dreapta este secantă parabolei)

$- 3 {x}^{2} + 4x + 7 = mx + 1 \\ 3 {x}^{2} + mx - 4x + 1 - 7 = 0 \\ 3 {x}^{2} + x(m - 4) - 6 = 0$

→ condiția este: Δ > 0

${(m - 4)}^{2} - 4 \times 3( - 6) > 0 \\ {(m - 4)}^{2} + 72 > 0$

=> orice m ∈ R

b)

$y = - 8x + n$

$(S)\left \{ {{y = - 3 {x}^{2} + 4x + 7} \atop {y = - 8x + n}} \right.$

Dacă dreapta de ecuație y = -8x + n intersectează parabola într-un singur punct, sistemul (S) are o singură soluție (dreapta este tangentă parabolei)

$- 3 {x}^{2} + 4x + 7 = - 8x + n \\ 3 {x}^{2} - 8x - 4x + n - 7 = 0 \\ 3 {x}^{2} - 12x + n - 7 = 0$

→ condiția este: Δ = 0

${( - 12)}^{2} - 4 \times 3(n - 7) = 0 \\ 144 - 12n + 84 = 0 \\ 12n = 228 = > n = 19$