Matematică, întrebare adresată de amalia3760, 8 ani în urmă

42. a) Determinați mulțimea resturilor obţinute prin împărțirea la 10 a elementelor mulțimii
M = {n^2|n€N}
b) Se consideră numerele naturale x şi y astfel încât numărul A = x²*3^48+y^2*2^25 sa fie
fie divizibil cu 5. Arătaţi că x și Y sunt divizibile cu 5.

Răspunsuri la întrebare

Răspuns de JolieJulie
20

Salut :)

a) M = {n² | n ∈ N}

Elementele multimii sunt patrate perfecte,deci ultima lor cifra se va repeta la un moment dat.

Pentru n=0 avem n²=0 → n²/10 = 0

           n=1 avem n²=1   → n²/10 = 1/10=0 rest 1

           n=2 avem n²=4   → n²/10 = 4/10=0 rest 4

           n=3 avem n²=9   → n²/10 = 9/10=0 rest 9

           n=4 avem n²=16   → n²/10 = 16/10=1 rest 6

           n=5 avem n²=25  → n²/10 =25/10=2 rest 5

           n=6 avem n²=36  → n²/10 = 36/10=3 rest 6

               si resturile incep sa se repete (pentru ca sunt multiplii numerelor de mai sus,deci la patrat vor avea aceeasi ultima cifra)

Deci multimea M va fi: M={0,1,4,5,6,9}

b) A=x²·3⁴⁸ + y²·2²⁵

x si y pot sa varieze foarte mult,deci singura metoda ar fi sa deducem ultima cifra a lui x²·3⁴⁸ si y²·2²⁵ .

U(3⁴⁸):                       (U-ultima cifra)

U (3¹) = 3

U(3²) = 9

U (3³) = 7

U (3⁴) = 1

U (3⁵) = 3

................ (se repeta)

→ ultima cifra a lui 3ⁿ se gaseste in multimea {1,3,9,7} cu 4 elemente

48:4 = 12 rest 0 → U(3⁴⁸) = 1

Stiind ca ultima cifra a lui x² apartine {0,1,4,5,6,9} → U(x²·3⁴⁸)=1·U(x²)

→ U(x²·3⁴⁸)apartine {0,1,4,5,6,9}

U(2²⁵) :

U(2¹) = 2

U(2²) = 4

U(2³) = 8

U(2⁴) = 6

U(2⁵) = 2

.............. (se repeta)

→ ultima cifra a lui 2²⁵ se gaseste in multimea {2,4,6,8} cu 4 elemente

25:2 = 12 rest 1 → U(2²⁵) = 2

Stiind ca ultima cifra a lui y² apartine {0,1,4,5,6,9} → U(y²·2²⁵)=2·U(y²)

deci  y²·2²⁵apartine ultimelor cifre ale nr din {0·2,1·2,4·2,5·2,6·2,9·2}

→ U(y²·2²⁵) ∈ {0,2,8}      

Avem multimile {0,1,4,5,6,9}  si  {0,2,8}

5| A →  U(A) ∈ {0,5}  

a) U(A)=0 → U(x²·3⁴⁸ + y²·2²⁵) = 0  deci singurele combinatii ar fi :

I : 0+0=0 → U(x²·3⁴⁸ ) =0 →  U(x²)·1 = 0 →  U(x²) = 0  →10 | x  ↔ 5 | x   (1)

                  U( y²·2²⁵) = 0 →  U(y²)·2 = 0 →  U(y²) = 0  →10 | y   ↔ 5 | y   (2)

II : 5+0=5 → U(x²·3⁴⁸ ) = 5 → U(x²)·1 = 5 →  U(x²) = 5  →   5 | x   (3)

                   U( y²·2²⁵) = 0 →  U(y²)·2 = 0 →  U(y²) = 0  → 10 | y ↔ 5 | y   (4)

b) U(A) = 5 → U(x²·3⁴⁸ + y²·2²⁵) = 5  deci singurele combinatii ar fi :

I: 5+0=5 (pe care  am discutat-o la pct. a)

Din (1) (2) (3) si (4) ⇒ x si y sunt divizibile cu 5

 

Alte întrebări interesante