Question

49 50 si 51 daca se poate cu tot cu rezolvari va rog

Answer 1

AL 49:

Funcția are coeficientul lui x² egal cu 1 > 0, deci funcția este descrescătoare pe intervalul (-∞, -b/(2a) ) și este crescătoare pe intervalul (-b/(2a), +∞).

-b/(2a) = -(-3)/(2·1) = 3/2, acesta este punctul de extrem.

Dar funcția nu este definită pe R cu valori în R, ci este definită doar pe intervalul [1,2]. Cum 3/2 se află chiar între 1 și 2, avem că:

Funcția este descrescătoare pe intervalul [1, 3/2) și este crescătoare pe intervalul (3/2, 2).

A nu se confunda punctul de extrem (aflat pe axa OX, adică în domeniul de definiție), cu valoarea de extrem a funcției, adică valoarea minimă, în acest caz.

AL 50:

f(x) = -x² + mx - 1 - m².

Cum coeficientul lui x² este -1 < 0, funcția din enunț are o valoare maximă:

$M=-\dfrac{\Delta}{4a}=-\dfrac{b^2-4ac}{4a}=-\dfrac{m^2-4\cdot(-1)\cdot(-1-m^2)}{4\cdot(-1)}=\\\\=\dfrac{m^2-4-4m^2}{4}=-\dfrac{3m^2+4}{4}=-\left(\dfrac{3m^2}{4}+1\right);\\\\m^2\geqslant 0\Rightarrow 3m^2\geqslant0\Rightarrow \dfrac{3m^2}4\geqslant0\Rightarrow \dfrac{3m^2}4+1\geqslant1\Rightarrow-\left(\dfrac{3m^2}{4}+1\right)\leqslant-1.$

Deci M ≤ 1.