Question

5. Arătaţi că numărul a = 3+3² +3³ +...+3 la 2013 este divizibil cu 13.

Answer 1

a=3+3^2+3^3+....+3^2013

a=3*(1+3+3^2)+3*(3^3+3^4+3^5)+....+3*(3^2011+3^2012+3^2013)

a=3*13+3*(3^3+3^4+3^5)+......3*(3^2011+3^2012+3^2013)

Observam ca avem un termen 13

Mai exact, daca calculam parantezele, fiecare suma din paranteza este divizibila cu 13

=> a divizibil cu 13

^ inseamna la puterea

* inseamna inmultit

Sper ca te-am ajutat!

Answer 2

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Metoda 1:

avem suma termenilor unei progresii geometrice de ratie

q = 3, cu 2013 termeni si astfel avem

a = 3(3^2013 - 1) / (3-1) =

3(3^3 - 1)(3^2010 + 3^2009 + ... + 1) / 2 =

3 x 26(3^2010 + 3^2009 + ... + 1) / 2 =

3 x 13(3^2010 + 3^2009 + ... + 1) , unde avem un factor divizibil cu 13, este chiar 13, deci tot produsul este divizibil cu 13.

Metoda a 2-a:

secventa

s = 3 + 3^2 + 3^3 =

3 + 9 + 27 =

39 =

3 x 13 este divizibila cu 13

si

avem aceasta secventa repetata de

2013 : 3 = 671 ori

dupa darea de factori convenabili, adica  

a = s + 3^3 x s + 3^6 x s + ... + 3^2010 x s =

s(1 + 3^3 + 3^6 + ... + 3^2010) si cum s este divizibil cu 13, atunci si tot produsul de mai sus este divizibil cu 13.

 Q. E. D.