Question

5. Determinați mulțimile: C= {x/x€N și 5/(3x-1)

Answer 1

Răspuns:

Din 5 / ( 3x - 1 ) rezulta ca

3x - 1 = 5k, unde k apartine N, deci

x=\frac{5k+1}{3}

3

5k+1

=\frac{3k+2k+1}{3}

3

3k+2k+1

=k+\frac{2k+1}{3}

3

2k+1

numar natural, deci trebuie ca 3 / (2k+1). Asta inseamna ca :

2k+1=3p, cu p numar natural, adica

k=\frac{3p-1}{2}

2

3p−1

=\frac{2p+p-1}{2}

2

2p+p−1

=p+\frac{p-1}{2}

2

p−1

este numar natural, deci trebuie ca 2 / (p-1). Asta insemna ca:

p-1=2n, cu n numar natural oarecare, adica p=2n+1 care este natural (impar) pentru orice n nr nat.

Ne intoarcem "pe fir in sus" si reluam calculele, etapa cu etapa, pana ajungem la forma generala a lui x in functie de n:

-inlocuim mai intai p=2n+1 in forma lui k (in functie de p) pe care am gasit-o mai sus:

k=p+\frac{p-1}{2}

2

p−1

k=(2n+1)+\frac{(2n+1)-1}{2}

2

(2n+1)−1

=2n+1+n=3n+1

-inlocuim acum k, astfel gasit, in forma lui x in functie de k de si mai sus:

x=k+\frac{2k+1}{3}

3

2k+1

x=(3n+1)+\frac{2(3n+1)+1}{3}

3

2(3n+1)+1

=3n+1+2n+1=5n+2, unde n este numar natural oarecare. Deci am gasit forma generala a lui x, care ia o infinitate de valori, din 5 in 5, pornind de la 2, deci

C={2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, ....} = {5n+2 | n apartine N}

Pentru D:

D = { x/ x apartine N si 4 / ( x + 2 ) }

Rationamentul este asemanator si nu voi mai scrie toate amanuntele:

Din 4 / ( x + 2 ) rezulta ca

x+2 = 4k, unde k apartine N, deci

x=4k-2, cu k numar natural si x are valori numere naturale pentru k>=1, iar x va lua valorile: 2, 6, 10, 14, 18, 22, etc. Deci

D={2, 6, 10, 14, 18, 22,....} = {4k-2 | k apartine N*}