Question

5. În figura alăturată este reprezentat pătratul ABCD, cu latura AB = 8cm , iar E un punct interior pătratului, astfel încât triunghiul ABE este echilateral, iar punctele D, E şi F sunt coliniare, cu F in BC
a) Arată că măsura unghiului BFE este egală cu 105°.
b) Determină aria triunghiului BFE.

Answer 1

Răspuns:

a) 105°; b) 16(√3 - 1) cm²

Explicație pas cu pas:

a) ABCD este pătrat => ∢BAD = 90°

ΔABE este echilateral => AE ≡ AD și ∢BAE = 60°

∢DAE = ∢BAD - ∢BAE = 90° - 60° = 30°

AE ≡ AD => ΔDAE este isoscel => ∢ADE ≡ ∢AED

∢ADE + ∢AED = 180° - ∢DAE

=> ∢ADE = 75°

D,E,F sunt coliniare și AD || BC => ∢ADE ≡ ∢DFC (alterne interne) => ∢DFC = 75°

∢BFE = 180° - ∢DFC = 180° - 75°

=> ∢BFE = 105°

b) EG ⊥ BC, G ∈ BC

E este mijlocul segmentului DF

=> EG este linie mijlocie în ΔCDF

EG = ½×CD => EG = 4 cm și CG ≡ GF

BG² = BE² - EG² => BG = 4√3 cm

CG = BC - BG => CG = 8 - 4√3 cm

BF = BG - GF = BG - CG = 4√3 - (8 - 4√3) = 8√3 - 8

=> BF = 8(√3 - 1) cm

Aria(ΔBFE) = ½×EG×BF = ½×4×8(√3 - 1)

=> Aria(ΔBFE) = 16(√3 - 1) cm²