Question

5. In figura următoare este reprezentată o placă de gresie de forma unui dreptunghi ABCD cu AB = 60 cm și
BC = 40 cm. Punctele M și N sunt situate pe segmentul DC astfel încât DN = MN = MC, iar o este
punctul de intersecție a dreptelor AM și BN.
(2p) a) Arată că perimetrul patrulaterului ABMN este egal cu 40(2 + 15)cm
b) Determina raportul dintre aria dreptunghiului Abcd sibsuma ariilor patrulaterelor ADNO si BCMO
​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

ABCD dreptunghi, cu AB = 60 cm și BC = 40 cm

DN = MN = MC

O punctul de intersecție al dreptelor AM și BN

----

$DN = MN = MC = \frac{AB}{3} = 20 cm$

în triunghiul AND:

$AN² = AD² + DN² = 40² + 20² \\ = 1600 + 400 = 2000$

$AN = 20√5 \: cm$

$BM = AN$

a) perimetrul patrulaterului ABMN:

$AB + BM + MN + AN = 60 + 20 +2×20√5 = 80 + 40√5 = 40(2 + √5) \: cm$

b)

$aria(ABCD)= AB×BC = 60×40 = 2400 \: cm²$

aria celor două patrulatere reprezintă diferența dintre aria dreptunghiului și aria celor două triunghiuri (Δ NOM și Δ AOB)

Δ NOM ~ Δ AOB =>

$\frac{h1}{h2} = \frac{NM}{AM} = \frac{20}{60} = \frac{1}{3} = > 3 \times h1 = h2$

unde h1 și h2 sunt înălțimile triunghiurilor

$BC = h1 + h2 = 40 => h1 = 10 \: cm \: si \: h2 = 30 \: cm$

$aria(NOM) + aria(AOB) = \frac{h1 × NM + h2 × AB}{2} = \frac{10×20 + 30×60}{2}= 1000 \: cm²$

$aria(ADNO) + aria(BCMO) = aria(ABCD) - [aria(NOM) + aria(AOB)] = 2400 - 1000 = 1400 \: cm²$

raportul:

$\frac{aria(ABCD)}{aria(ADNO) + aria(BCMO)} = \frac{2400}{1400} = \frac{12}{7}$