Question

5. Se considerá tetraedrul VABC cu toate fetele triunghiuri echilaterale cu latura de 6 cm. a) Determină sinusul unghiului format de muchia AV cu planul (ABC). b) Determina tangenta unghiului format de planele (VBC) și (ABC).​

Answer 1

latura l=6 cm

a.

Fie AM⊥BC

Fie VO inaltimea tetraedrului

VO⊥AM

AM⊂(ABC)

∡(VA,(ABC))=∡VAO

AM este inaltime intre ΔABC echilateral ⇒

$AM=\frac{l\sqrt{3} }{2} =3\sqrt{3} \ cm$

AO este 2 treimi din AM

$AO=\frac{2}{3}\times 3\sqrt{3} =2\sqrt{3} \ cm$

VA=6 cm (din ipoteza)

• In ΔVAO dr in O aplicam Pitagora:

VA²=VO²+AO²

VO²=36-12=24

VO=2√6 cm

$sin VAO=\frac{VO}{VA} =\frac{2\sqrt{6} }{6} =\frac{\sqrt{6} }{3}$

b.

(VBC)∩(ABC)=BC

VM⊥BC

VM⊂(VBC)

AM⊥BC

AM⊂(ABC)

∡((VBC),(ABC))=∡VMA=∡VMO

OM=AM-AO=3√3-2√3=√3 cm

VM=AM=3√3 cm

$tgVMO=\frac{VO}{OM} =\frac{2\sqrt{6} }{\sqrt{3} } =2\sqrt{2}$