Question

5p 2. Se consideră expresia: E(x) = x³ + (x+3)² + (x - 2)² + (x + 1)(x-1)-12, unde x E R. (3p) a) Demonstrează că E(x) = x(x + 1)(x + 2), pentru orice număr real x. (2p) b) Demonstrează că E(n): 6, pentru orice număr natural n.​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

2. Se consideră expresia: E(x) =x³+(x+3)²+(x - 2)²+(x + 1)(x-1)-12, unde x ∈ R.  a) Demonstrează că E(x) = x(x + 1)(x + 2), pentru orice număr real x.

b) Demonstrează că E(n): 6, pentru orice număr natural n.​

a)  E(x) =x³+(x+3)²+(x - 2)²+(x + 1)(x-1)-12

E(x)=x³+x²+6x+9+x²-4x+4+x²-1-12=x³+3x²+2x=x(x²+3x+2)=x(x²-1+3+3x)=

x[(x+1)(x-1)]+3(x+1)]=x(x+1)(x-1+3)=x(x+1)(x+2)  ⇒ E(x) = x(x+1)(x+2)

b) E(n)=n(n+1)(n+2)

E(n) este produsul a trei numere consecutive, asta inseamna ca in acel produs va fi un 2 sau multiplu de 2 si un 3 sau un multiplu de 3, deci produsul va fi divizibil cu 6, oricare ar fi n ∈ N

Exemplu: 1·2·3=6   - divizibil cu 6

                2·3·4=24   -divizibil cu 6

                3·4·5=60    - divizibil cu 6

                 .

                 .

               8·9·10=720   - divizibil cu 6