Question

5p 3. (2p) a) Stabiliți dacă punctele M(2, 2), M3; 0) şi P(0; 6) reprezentate în acelaşi sistem ortogonal de coordonate sunt sau nu coliniare (3p) b) Determinaţi coordonatele punc- tului Q, mijlocul segmentului MN.
URGENT​

Answer 1

a) formăm determinantul:

$\left|\begin{array}{ccc} 2&2&1 \\ 3&0&1 \\ 0&6&1 \end{array}\right| = 3 \cdot 0 \cdot 1 + 2 \cdot 1 \cdot 0 + 3 \cdot 6 \cdot 1 - 0 \cdot 0 \cdot 1 - 2 \cdot 6 \cdot 1 - 3 \cdot 2 \cdot 1 =$

$= 0 + 0 + 18 - 0 - 12 - 6 = 18 - 18 = \bf 0$

valoarea determinantului este 0 ⇒ punctele M, N, P sunt coliniare

b)

Mijlocul segmentului MN are coordonatele:

$Q(x_{Q} ;y_{Q}) = Q\left(\dfrac{x_{M} + x_{N}}{2} ;\dfrac{y_{M} + y_{N}}{2}\right)$

unde:

$x_{Q} = \dfrac{x_{M} + x_{N}}{2} = \dfrac{2 + 3}{2} = \dfrac{5}{2}$

$y_{Q} = \dfrac{y_{M} + y_{N}}{2} = \dfrac{2 + 0}{2} = \dfrac{2}{2} = 1$

$\implies Q \bigg( \dfrac{3}{2} ;1 \bigg)$

Answer 2

a) Punctele sunt coliniare dacă aparțin graficului unei funcții liniare,

$\it f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R},\ \ f(x)=ax=b$

Determinăm funcția al cărei grafic conține punctele M(2, 2) și N(3, 0) .

$\it M(2,\ 2)\in Gf \Rightarrow f(2)=2 \Rightarrow 2a+b=2 \Rightarrow b=2-2a\ \ \ (1)\\ \\ \\ N(3,\ 0)\in Gf \Rightarrow f(3)=0 \Rightarrow 3a+b=0 \Rightarrow b=-3a\ \ \ \ \ \ (2)\\ \\ \\ (1),\ (2) \Rightarrow 2-2a=-3a \Rightarrow -2a+3a=-2 \Rightarrow a=-2\ \ \ \ \ (3)\\ \\ \\ (2),\ (3) \Rightarrow b=-3\cdot(-2)=6.\ \ Deci, \ \ f(x)=-2x+6$

Verificăm dacă punctul P(0,  6) ∈ Gf.

$\it P(0, \ \ 6)\in Gf \Rightarrow f(0)=6\\ \\ f(x)=-2x+6 \Rightarrow f(0)=0+6=6$

Deci, P(0,  6) ∈ Gf,  prin urmare, cele trei puncte sunt coliniare.