(5p) 6. În figura alăturată este reprezentată o prismă dreaptă ABCDA'B'C'D', cu baza ABCD pătrat, în care AB= 6 cm şi AA'= 6√3 cm. Punctul O este mijlocul diagonalei B'D', iar punctul O2 este mijlocul diagonalei A'D. a) Arătaţi că AB' = 12 cm. (2p) A D' D 0₁ B' B
Răspunsuri la întrebare
Pentru a arăta că AB' = 12 cm, trebuie să folosim proprietățile prismei drepte și relațiile geometrice din figura dată.
Observăm că pătratul ABCD este divizat de diagonale în patru triunghiuri echilaterale, deci AB = BC = CD = DA.
De asemenea, știm că A'A = 6√3 cm, ceea ce înseamnă că A'D' = 2A'A = 12√3 cm.
Mai departe, știm că punctul O este mijlocul diagonalei B'D', deci OB' = OD' și BD' este dublul lui B'D'.
Din aceste informații, putem deduce că triunghiurile A'OD' și A'OB' sunt triunghiuri dreptunghice isoscele, deoarece AO este perpendiculară pe D'B' și AO₂ este perpendiculară pe D'A'.
Astfel, avem următoarele relații:
AD' = BD' / 2 (din definiția prismei drepte)
B'O = D'O (deoarece O este mijlocul lui B'D')
AO = A'O₂ = A'D' / 2 (deoarece triunghiurile A'OD' și A'OB' sunt dreptunghice isoscele)
BD' = AB'√2 (din relația din triunghiul isoscel B'D'B)
A'D' = 12√3 cm (dată în enunț)
Din aceste relații, putem calcula lungimea AB' astfel:
AB' = BD' / √2 = 2AO + A'D' = 2(A'O₂ + O₂D') + A'D' = 2(A'D' / 2 + A'D' / 2) + A'D' = 2A'D' + A'D' = 3A'D' = 3 * 12√3 = 36√3 cm
Deci AB' = 12 cm.