Question

6. Arătaţi că 10 divizibil cu a, unde a = 7+7²+7³+...+7⁶⁴​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

daca formularea corecta este cea pe care am spus-o eu avem:

suma de sus este a 64 termeni a unei progresii geometrice cu primul termen b1=7 si ratia r= 7

formula generala

sn=b1( ratia^n-1)/(r-1)

s64=7(7^64-1)/6

privind ultima cifra a unui nr.care se termina in 7:

7^1=7  rest 1

7^2=49  rest 2

7^3=343  rest 3

7^4=2401  rest 0

dupa care se repeta

7^64 am ultima cifra

64:4=16 rest 0 deci ultima cifra este 1 din care scadem 1 din paranteza formulei

deci produsul de sus din suma  se termina in 0 deci divizibil cu 10

Answer 2

$\it a= 7+7^2+7^3+... +7^{64}=(7+7^3)+(7^2+7^4)+\ ...\ +(7^{61}+7^{63})+(7^{62}+7^{64})=\\ \\ =7(1+7^2)+7^2(1+7^2)+\ ...\ +7^{61}(1+7^2)+7^{62}(1+7^2)= \\ \\ \\=50(7+7^2+\ ...\ +7^{61}+7^{62})\in M_{10} \Rightarrow 10 | a$