Question

6. În figura alăturată este reprezentat trapezul isoscel ABCD, cu AB || CD, AB > CD, AD = BC, în care diagonalele AC şi BD sunt perpendiculare, înălțimea trapezului este egală cu 30 cm, DC/AB=2/3 şi AD intersectat cu BC= {M}. a) Arată că AC = 30√2 cm. b) Demonstrează că AriaMDC=4/5AriaABCD​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

a) notăm AC ∩ BD = {E}

ducem înălțimea: CF ⊥ AB, F ∈ AB, CF = 30 cm

ABCD trapez isoscel => ΔAEB isoscel

=>AE ≡ BE

T.P.: AE² + BE² = AB² <=> 2BE² = AB²

$\bf AB = BE \sqrt{2} \: cm$

în ΔABC: BE×AC = CF×AB

$BE \cdot AC = CF \cdot AB \iff BE \cdot AC = 30 \cdot BE \sqrt{2} \\ \implies \bf AC = 30 \sqrt{2} \: cm$

b)

$\frac{DC}{AB} = \frac{2}{3} \implies \frac{Aria_{\triangle MDC}}{Aria_{\triangle MAB}} = {\Big( \frac{2}{3} \Big)}^{2} = \frac{4}{9} \\ \frac{Aria_{\triangle MDC}}{Aria_{\triangle MAB} - Aria_{\triangle MDC}} = \frac{4}{9 - 4} \\ \implies \bf \frac{Aria_{\triangle MDC}}{Aria_{\triangle MAB} - Aria_{ABCD}} = \frac{4}{5}$