Question

Aceste exerciții.Vă mulțumesc!​

Answer 1

Răspuns:

a) Aplicăm inegalitatea mediilor pentru numerele ab, bc, ca.

$ab+bc+ca\ge 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow\displaystyle\frac{1}{ab+bc+ca}\le\frac{1}{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}$

Înmulțim cu $3abc$.

$\displaystyle\frac{3abc}{ab+bc+ca}\le\sqrt[3]{abc}$

Logaritmăm pe rând inegalitatea în bazele a, b, c. Inegalitatea se schimbă deoarece bazele sunt subunitare.

$\log_a{\displaystyle\frac{3abc}{ab+ac+bc}\ge\frac{1}{3}\log_a{abc}$

$\log_b{\displaystyle\frac{3abc}{ab+ac+bc}\ge\frac{1}{3}\log_b{abc}$

$\log_c{\displaystyle\frac{3abc}{ab+ac+bc}\ge\frac{1}{3}\log_c{abc}$            (1)

Adunăm inegalitățile

$\log_a{\displaystyle\frac{3abc}{ab+ac+bc}+\log_b{\displaystyle\frac{3abc}{ab+ac+bc}+\log_c{\displaystyle\frac{3abc}{ab+ac+bc}\ge \frac{1}{3}\left(\log_a(abc)+\log_a(abc)+\log_c(abc)\right)$

Membrul drept se mai scrie, folosind proprietățile logaritmilor

$\displaystyle\frac{1}{3}\left( 3+\log_ab+\log_ba+\log_ac+\log_ca+\log_bc+\log_cb\right)\ge\frac{1}{3}(3+2+2+2)=3$

și prin tranzitivitate rezultă inegalitatea.

Am folosit că $\log_ab+\log_ba=\log_ab+\displaystyle\frac{1}{\log_ab}\ge 2$  (inegalitatea mediilor)

b) Relațiile (1) le înmulțim membru cu membru

$\log_a{\displaystyle\frac{3abc}{ab+ac+bc}\cdot\log_b{\displaystyle\frac{3abc}{ab+ac+bc}\cdot\log_c{\displaystyle\frac{3abc}{ab+ac+bc}\ge\frac{1}{27}\log_a(abc)\log_b(abc)\log_c(abc)=$

$=\displaystyle\frac{1}{27}\cdot\frac{1}{\log_{abc}a\log_{abc}b\log_{abc}c}$        (2)

Dar

$1=\log_{abc}(abc)=\log_{abc}a+\log_{abc}b+\log_{abc}c\ge\sqrt[3]{\log_{abc}a\log_{abc}b\log_{abc}c}$

Ridicând ambii membri la a treia rezultă

$1\ge 27\log_{abc}a\log_{abc}b\log_{abc}c\Rightarrow \displaystyle\frac{1}{\log_{abc}a\log_{abc}b\log_{abc}c}\ge 27$

Revenind la inegalitatea (2), se obține inegalitatea din enunț.

Explicație pas cu pas: