Question

6. In triunghiul ABC, cu AD L BC, De (BC), avem KB = 30° şi KC = 45°. Dacă AC = 18√2 cm, calculaţi: - a) aria triunghiului ABC; b) perimetrul triunghiului ABC; c) lungimile înălțimilor triunghiului dat. 22 cm iar RC = 30 cm.​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

ΔABC, ∢B = 30°, ∢C = 45°

$\frac{AC}{ \sin(B) } = \frac{AB}{ \sin(C) } < = > \frac{18 \sqrt{2} }{ \sin(30) } = \frac{AB}{ \sin(45) } \\ \frac{18 \sqrt{2} }{ \frac{1}{2}} = \frac{AB}{ \frac{ \sqrt{2} }{2} } = > AB = 36 \: cm$

în ΔABD dreptunghic: ∢ABD = 30°

→ AD = AB÷2 => AD = 18 cm

→ T.P.: BD² = AB² - AD² = 36² - 18² = 972

$=> BD = 18\sqrt{3}\: cm$

în ΔADC dreptunghic: ∢ACD = 45°

→ ΔADC dreptunghic isoscel

=> AD ≡ DC = 18 cm

$BC = BD + DC = 18\sqrt{3} + 18 \\ => BC = 18(\sqrt{3}+1)\: cm$

$Aria_{(ABC)} = \frac{AD\cdot  BC}{2} = \frac{18\cdot  18(\sqrt{3}+1)}{2} \\ = 162(\sqrt{3}+1) \: {cm}^{2}$

b)

$Perimetrul_{(ABC)} = AB + BC + AC \\ = 36 + 18(\sqrt{3}+1) + 18\sqrt{2} \\ = 18(3 + \sqrt{3} + \sqrt{2})\: cm$

c)

$h_{A} = AD = 18\:cm$

$Aria_{(ABC)} = \frac{h_{B}\cdot AC}{2} = \frac{h_{C}\cdot AB}{2}$

$\frac{h_{B}\cdot AC}{2} = 162(\sqrt{3}+1) \\ h_{B} = \frac{2\cdot 162(\sqrt{3}+1)}{18 \sqrt{2} } \\ = > h_{B} = 9\sqrt{2}(\sqrt{3}+1) \: cm$

$\frac{h_{C}\cdot AB}{2} = 162(\sqrt{3}+1) \\ h_{C} = \frac{2\cdot 162(\sqrt{3}+1)}{36} \\ = > h_{C} = 9(\sqrt{3}+1) \: cm$