Question

62.2.Salut! Vă rog, rezolvarea acestei probleme:


În fig. 2 este reprezentat un con circular drept având înălțimea VO și secțiunea axială VAB. Prin secționarea conului cu un plan paralel cu baza acestuia, se obține un trunchi de con având înălțimea de 6 cm, raza bazei mici de 4 cm și volumul egal cu 416 π cm cubi.


A. Arătați că raza bazei conului are lungimea de 12 cm.

B.Calculați aria laterala a conului.

C.Fie M un punc pe cercul bazei conului a.î. m( unghiului AOM) = 60°.Calculați aria triunghiului VAM.


* în imaginea 2 sunt rezultatele.

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Answer 2

a)

$\it \mathcal{V}_t=\dfrac{\pi h}{3}(R^2+r^2+Rr) =416\pi \Rightarrow \dfrac{\pi \cdot6}{3}(R^2+16+4R) =416\pi \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow R^2+16+4R =208|_{-16} \Rightarrow R^2+4R=192 \Rightarrow R(R+4)=192$

Pentru R = 12, ultima egalitate devine:

12·16 = 192 ⇒ 192 = 192 (Adevărat)

Prin urmare, R = 12cm.

b)

$\it A'O'||AO \Rightarrow \Delta VOA\sim\Delta VO'A' \Rightarrow \dfrac{VO}{VO'}=\dfrac{OA}{O'A'} \Rightarrow \dfrac{VO}{VO'}=\dfrac{12}{4} \Rightarrow\\ \\ \\ \Rightarrow \dfrac{VO}{VO'}=3 \Rightarrow VO=3\cdot VO' \Rightarrow VO'+6=3\cdot VO' \Rightarrow VO'=3\ cm \Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow VO=6+3=9\ cm$

Cu teorema lui Pitagora în ΔVOA ⇒ VA = 15cm = G (generatoarea).

$\it \mathcal{A}_{\ell} =\pi RG = \pi\cdot12\cdot15=180\pi\ cm^2$

c)

Triunghiul OAM este isoscel și are un unghi de 60° ⇒ ΔOAM-echilateral ⇒  AM=AO=12cm

Triunghiul VAM are laturile:

VA = VM = 15 cm (generatoare), AM = 12cm.

Cu formula lui Heron, obținem:

$\it \mathcal{A}_{VAM} =\sqrt{21\cdot6\cdot6\cdot9} = 18\sqrt{21}\ cm^2$