7. Pe un cerc sunt dispuse 2014 numere reale, fiecare având modulul 1. Se face suma celor 2014 produse de câte patru numere dispuse consecutiv pe cerc. Atunci suma poate fi:.
Răspunsuri la întrebare
Avand in vedere ca spune "suma poate fi" ne vom raporta strict la variantele de raspuns:
Variantele sunt: -100, 1606, 2018, -8, -51
- Avem 2014 numere cu modul 1, ceea ce inseamna ca avem numerele 1 si -1. Nu stim exact cate sunt de 1 si cate de -1
- Un produs de 4 numere dispuse consecutiv poate fi 1 sau -1.
Avem 2014 numere ce pot lua valori +1 sau -1
aₙ=±1
Suma celor 2014 produse a cate patru numere consecutive o putem scrie astfel:
S=a₁a₂a₃a₄+a₂a₃a₄a₅+a₃a₄a₅a₆+a₄a₅a₆a₇+...a₂₀₁₂a₂₀₁₃a₂₀₁₄a₁+a₂₀₁₃a₂₀₁₄a₁a₂+a₂₀₁₄a₁a₂a₃
- Fiecare numar apare primul in produs, dupa cum se observa mai sus, iar fiacare numar apare in cate 4 produse, spre exemplu am subliniat a₁ si cele 4 aparitii.
- In orice situatie ar fi, suma nu poate fi negativa⇒S>0⇒ ca solutiile -100, -8 si -51 nu pot fi variante
- Daca toate numere sunt pozitive, adica +1 maximul pe care il poate lua S=2014
- Cum 2018>2014⇒ 2018 nu poate fi solutie
Asadar, singura solutie este 1606
Raspuns: 1606
O alta modalitate de gandire al acestui exercitiu ar fi:
Avem 2014 numere cu modul 1, ceea ce inseamna ca avem numerele 1 si -1. Nu stim exact cate sunt de 1 si cate de -1
Un produs de 4 numere dispuse consecutiv poate fi 1 sau -1.
Ne cere sa aflam suma celor 2014 produse, adica suma celor 2014 de 1 sau de -1, repet nu stim cati de 1 si cati de -1 sunt.
Daca facem 2014:4=503 rest 2
Adica cautam un multiplu de 4 si rest 2
M₄ + rest 2
Minimul pe care suma il poate lua este -2014, iar maximul este 2014
Adica avem 2014 de -1 sau 2014 de 1
-2014<S<2014
- Din start in excludem pe 2018, care este mai mare decat 2014
- Daca il luam pe -100, aceste se imparte exact la 4, adica rest=0, nu este bun
- Daca il luam pe -8, aceste se imparte exact la 4, adica rest=0, nu este bun
- Daca il luam pe -51, restul va fi 3, deci nu este bun
- Daca il luam pe 1606, 1606:4=401 rest 2, observam ca restul=2