Question

75. Aflati ultima cifră a numărului: S = 3^1 +3^2 +3^3 + ..... 3^120 apoi arătati că S divizibil cu 13​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

S = 3^1 + 3^2 + 3^3 + ...+ 3^120

3S = 3^2 + 3^3 + 3^4 + ...+ 3^121

3S - S = 3^2 + 3^3 + 3^4 + ...+ 3^121 - 3^1 - 3^2 - 3^3 - ...- 3^120

2S = 3^121 - 3

S = (3^121 - 3) : 2

3^1 se termina in 3

3^2 se termina in 9

3^3 se termina in 7

3^4 se termina in 1

3^5 se termina in 3

ultima cifra se repeta din 4 in 4

121 : 4 = 30 rest 1

3^121 se termina in 3

3^121 - 3 se termina in 0

S = (3^121 - 3) : 2 se termina in 0

_______________

S = 3^1 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + 3^5 + 3^6 + ...+ 3^118 + 3^119 + 3^120

= (3^1 + 3^2 + 3^3) + 3^3*(3^1 + 3^2 + 3^3) + ...+ 3^117*(3^1 + 3^2 + 3^3)

3^1 + 3^2 + 3^3 = 3 + 9 + 29 = 39 = 3*13

S = (3^1 + 3^2 + 3^3)*(1 + 3^3 + ...+ 3^117) = 3*13*(1 + 3^3 + ...+ 3^117) este divizibil cu 13