Question

75. Să se demonstreze că suma distanjelor virfurilor unui triunghi la o dreaptă exterioară triunghiului este egală cu suma distanţelor mijloacelor laturilor triun- ghiului la aceeași dreaptă. ​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

notăm A,B,C vârfurile unui triunghi și cu d - o dreaptă exterioară triunghiului

notăm Q, R, S proiecțiile vârfurilor triunghiului pe dreapta d

notăm cu M, N, P mijloacele laturilor AB, AC, BC

notăm cu T, U, V proiecțiile mijloacelor laturilor triunghiului pe dreapta d

AQ || NU || CS || MT || PV || BR

atunci,

MT este linie mijlocie în trapezul ABRQ

NU este linie mijlocie în trapezul ACSQ

PV este linie mijlocie în trapezul BCSR

$MT + NU + PV = \\ = \frac{BR + AQ}{2} + \frac{AQ + CS}{2} + \frac{BR + CS}{2} \\ = \frac{2(AQ + BR + CS)}{2} = AQ + BR + CS$

q.e.d.