Question

8 a Determinați cel mai mare şi cel mai mic număr natural de 3 cifre care dau restul 8 la împărțirea cu 11. Determinați câte numere de trei cifre împărțite la 37 dau restul 9 şi calculați suma acestor numere. ​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

$\overline {abc} = 11k + 8 \ , \ k \in \mathbb {N}$

$100 \leqslant \overline {abc} \leqslant 999 \iff 100 \leqslant 11k + 8 \leqslant 999 \\ 92 \leqslant 11k \leqslant 991 \iff \dfrac{92}{11} \leqslant k \leqslant \dfrac{991}{11} \\ 8\dfrac{4}{11} \leqslant k \leqslant 90\dfrac{1}{11} \implies 9 \leqslant k \leqslant 90$

cel mai mic număr:

$\overline {abc} = 11 \cdot 9 + 8 = \bf 107$

cel mai mare număr:

$\overline {abc} = 11 \cdot 90 + 8 = \bf 998$

există: 90-9+1 = 82 astfel de numere

.

$\overline {abc} = 37k + 9 \ , \ k \in \mathbb {N}$

$100 \leqslant \overline {abc} \leqslant 999 \iff 100 \leqslant 37k + 9 \leqslant 999 \\ 91 \leqslant 37k \leqslant 990 \iff \dfrac{91}{37} \leqslant k \leqslant \dfrac{990}{37} \\ 2\dfrac{17}{37} \leqslant k \leqslant 26\dfrac{28}{37} \implies 3 \leqslant k \leqslant 26$

există: 26-3+1 = 24 astfel de numere

cel mai mic număr:

$\overline {abc} = 37 \cdot 3 + 9 = \bf 120$

cel mai mare număr:

$\overline {abc} = 37 \cdot 26 + 9 = \bf 971$

$S = 120 + (120 + 37) + (120 + 2 \cdot 37) + ... + (120 + 23 \cdot 37) = \underbrace{120 + 120 + ... + 120}_{24} + (37 + 2 \cdot 37 + ... + 23 \cdot 37) = 120 \cdot 24 + 37 \cdot (1 + 2 + ... + 23) = 2880 + 37 \cdot \dfrac{23 \cdot (23 + 1)}{2} = 2880 + 37 \cdot \dfrac{23 \cdot 24}{2} = 2880 + 10212 = \bf 13092$

sau:

$S = \dfrac{(120 + 971) \cdot 24}{2} = \dfrac{1091 \cdot 24}{2} = \dfrac{26184}{2} = \bf 13092$