Question

8. Se consideră punctele: 1 (1:1), B(4;2), D(2:4). a) Determina coordonatele punctului ştiind ca ABCD este paralelogram. b) Calculeaza aria paralelogramului ABCD. ​

Answer 1

Răspuns:

C(5, 5) şi 8

Explicație pas cu pas:

a) A(1, 1) B(4, 2) D(2, 4)

Folosim proprietatea că diagonalele paralelogramului au acelaşi mijloc.

Fie C(a, b)

Fie M mijlocul lui AC şi N mijlocul lui BD.

$m( \frac{1 + a}{2} \: \: \: \frac{1 + b}{2} )$

$n( \frac{4 + 2}{2} \: \: \: \: \frac{2 + 4}{2} )$

Deci N(3, 3)

(1+a)/2=3 deci 1+a=6 deci a=5

(1+b)/2=3 deci 1+b=6 deci b=5

C(5, 5)

b) Dacă faci un desen, vezi că seamănă cu un romb. Demonstrăm calculând lungimile a două laturi neparalele (de exemplu, AB şi AD)

AB=

$\sqrt{ {(4 - 1)}^{2} + {(2 - 1)}^{2} } = \sqrt{10}$

Analog faci AD-ul (tot radical din 10 iese. Nu mai scriu calculul ptr că e greu să scrii "formule" în aplicația asta. Scuze)

Deci ABCD e romb. Asta înseamnă că diagonalele sunt perpendiculare una pe cealaltă.

Faci AC (iese radical din 32)

Faci BD (iese radical din 8)

Aria lui ABCD este suma ariilor a două triunghiuri congruente (ABD şi CBD)

Trasezi înălțimea din A pe BD (care e, de fapt, AC pentru că diagonalele sunt perpendiculare)

Lungimea înălțimii din A va fi jumătate din lungimea lui AC (adică radical din 8)

Faci aria lui ABD (baza × înălțimea/2)

$\sqrt{8} \times \sqrt{8} \div 2 = 8 \div 2 = 4$

Acuma aria rombului va fi dublul ariei triunghiului

4×2=8

Sper că se înțelege (şi că calculele sunt bune)...

Mult succes!