Question

9. Arătaţi că numărul a = 1 + 3 + 5 + ... + 29 este pătrat perfect.​

Answer 1

Răspuns:

1+2+3+....+29 = 15²

Explicație pas cu pas:

Exercițiul se rezolvă cu ajutorul noțiunii de progresie aritmetică.

Avem a₁ = 1 și a₁₅ = 29

Suma primilor n termeni dintr-o progresie aritmetică este

$S_{n} = n \frac{a_{1} + a_{n} }{2}$

În cazul nostru, n = 15 (avem 15 termeni):

$S_{15} = 15\frac{1+29}{2} = 15*\frac{30}{2} = 15*15 = 15^{2}$

Așadar, 1+2+3+....+29 = 15², deci suma este pătrat perfect.

Observație:

Suma primelor n numere naturale impare este întotdeauna pătrat perfect.

1+3 = 4 = 2²

1+3+5 = 9 = 3²

1+3+5+7 = 16 = 4²

1+3+5+.....+(2n+1) = n²