Question

9. Fie ABCD un trapez isoscel cu AB || CD, AD = BC, AB = 16 cm şi CD = 12 cm. Diagonalele AC şi BD ale trapezului sunt perpendiculare (figura 29).
a) Arătaţi că aria trapezului este 196 cm².
b) Determinaţi perimetrul trapezului.​

Answer 1

a) pentru a afla aria unui trapez, trebuie determinată înălțimea acestuia. în cazul unui trapez isoscel ortodiagonal (diagonalele sunt perpendiculare), ne este foarte ușor să determinăm necunoscuta prin semisuma bazelor.

ABCD - trapez isoscel

AC perpendicular pe BD => ABCD - trapez isoscel ortodiagonal

fie CX perpendicular pe AB, X € AB => CX - h

CX = AB+CD/2 = 16+12 / 2 =14

Aabcd = (AB+DC)*CX/2 = 28*14/2 = 196cm²

b) notăm intersecția diagonalelor cu O. ducem perpendicularele din O pe fiecare bază, OY respectiv OT pe DC și AB. întrucât ABCD este un trapez isoscel, DO va fi egal cu OC, iar AO =OB.

dacă triunghiurile AOB și DOC sunt dreptunghice, ele vor fi și isoscele, așa că acele perpendiculare sunt și mediane. așadar, YC este jumătate din ipotenuza DC, egal cu 12/2 = 6.

demonstrând că YCXT este un dreptunghi (YC // XT, YT//CX, deoarece acestea sunt perpendiculare, iar <X = 90°), reiese faptul că laturile opuse, YC și XT, sunt de 6cm.

dacă OX este mediană, atunci TB este de 8cm. din diferența segmentelor TB și TX, adică 8 și 6, XB va fi de 2cm.

în triunghiul CXB, cu unghiul X de 90°, aplicăm teorema lui Pitagora, de unde rezultă că CB este de 10√2cm. dacă ABCD este un trapez isoscel, laturile neparalele, AD și BC, vor fi egale.

astfel, perimetrul lui ABCD = AB+BC+CD+AD = 16+10√2+12+10√2 = 28 + 20√2 = 4(7+5√2)cm.

am verificat, deci așa ar trebui să dea rezultatul.

succes!