Question

93. Se dau două cercuri secante în punctele P şi Q. In primul cerc O₁, se Înscrie un triunghi ABC. Dreptele AP, BP, CP Întîlnesc din nou cercul al doilea O₂ respectiv în punctele A', B', C'. Să se arate că triunghiulA'B'C' si triunghiul ABC sunt asemenea . Justificaţi (v. fig. III.13.).​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

▪︎ dreptele BB' și CC' sunt concurente în punctul de intersecție P

=> ∢BPC ≡ ∢B'PC'

∢BPC ≡ ∢BAC deoarece subîntind același arc BC

∢B'PC' ≡ ∢B'AC' deoarece subîntind același arc B'C'

din cele trei relații:

=> ∢BAC ≡ ∢B'AC' (1)

▪︎ dreptele AA' și CC' sunt concurente în punctul de intersecție P

=> ∢APB ≡ ∢A'PB'

∢APB ≡ ∢ACB deoarece subîntind același arc AB

∢A'PB' ≡ ∢A'CB' deoarece subîntind același arc A'B'

din cele trei relații:

=> ∢ACB ≡ ∢A'CB' (2)

▪︎ din (1) și (2) => ΔABC ~ Δ'AB'C'

q.e.d.

Answer 2

Răspuns:

Patrulaterele ABCP și A'B'C'P sunt inscriptibile. Avem

$\widehat{BAC}\equiv\widehat{BPC}\equiv\widehat{B'PC'}\equiv\widehat{B'A'C'}$

$\widehat{BCA}\equiv\widehat{BPA}\equiv\widehat{B'PA'}\equiv\widehat{B'C'A'}$

Deci triunghiurile ABC  și A'B'C' au două perechi de unghiuri congruente, deci sunt asemenea.

Explicație pas cu pas: