Question

a=2+2^2+2^3+...+2^2005

Aratati ca nr. este divizibil cu 31.
Aratati ca restul impartirii lui 7 si 30 este acelasi.

Answer 1

La aceste exercitii, trebuie sa te gandesti cum sa grupezi termenii sumei astfel incat sa poti obtine divizorul respectiv.
De exemplu: 31=32-1 adica $31=2^{5}-1$ Deci daca ai putea sa grupezi cumva termenii incat sa obtii 31, atunci numarul ar fi divizibil cu 31.
In cazul nostru observi ca exponentul cel mai mare al lui 2:adica 2005, este un multiplu de 5. Deci poti sa grupezi termenii in sume separate de forma
$2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5}$
$2^{6}+2^{7}+2^{8}+2^{9}+2^{10}=2^{5}(2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5})$
.............................................................................
$2^{1996}+2^{1997}+2^{1998}+2^{1999}+2^{2000}=2^{1995}(2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5})$
$2^{2001}+2^{2002}+2^{2003}+2^{2004}+2^{2005}=2^{2000}(2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5})$
Deci observi ca toate aceste sume separate sunt multipli ai primului grup de termeni deci putem scrie la final
$A=(2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5})*(1+2^{5}+2^{10}+...+2^{1995}+2^{2000})$
Dar prima suma de termeni poate fi calculata usor
$2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5}=2(1+2^{1}+2^{2}+2^{3}+2^{4})=2(1+2+4+8+16)=2*31$
Deci la final
$A=2*31*(1+2^{5}+2^{10}+...+2^{1995}+2^{2000})$ care este evident divizibil cu 31.