Question

a) (57² -1)×(57² -2)×(57² -3)×...(57² - 57²)=

b) Aratati ca nr N= 2005 + 2×(1 + 2 +3 +...+2004) este patratul unui numar natural.

c) Daca N=2+2²+2³+...+2^2007 , scrieti ca putere a lui 2 numarul N+2.

Answer 1

a. ( 57² - 1 ) · ······ ( 57² - 57² )  = 0 
                               ↓ 
                              57² -57² = 0  , un termen al produsului este nul ,rezultatul =0
b.  n = 2005 + 2 ·  ( 1 + 2004 ) · 2004  / 2 =2005 + 2005 · 2004 · 2 :2 =
= 2005  + 2005 ·2004 ·1 = 2005 ·( 1 + 2004 ) =2005 ·2005 = 2005 ² patrat perfect 
c.              n = 2 + 2² +2³ + .... + 2²⁰⁰⁷          inmultim cu 2 
     
     2·n =         2²  + 2³ + 2⁴ + .... + 2²⁰⁰⁷ + 2²⁰⁰⁸   si scadem 
       n = 2 + 2² +2³ + .............. + 2²⁰⁰⁷  
-----------------------------------------------------------
2·n - n =  - 2                                   + 2²⁰⁰⁸ ( din scadere raman ultimul si primul ,                                                                                 ceilalti se reduc )
n = 2²⁰⁰⁸ -2          adunam  2 
raspunsul     n +2 = 2²⁰⁰⁸ - 2 + 2 = 2²⁰⁰⁸