Question

A=7+7^(2)+7^(3)+...+7^(100) este divizibil cu 50.

Answer 1

   
[tex]\displaystyle\\ \texttt{e)}\\\\ A = 7^1+7^2+7^3+7^4+7^5+7^6+7^7+7^8+\cdots+7^{97}+7^{98}+7^{99}+7^{100}\\\\ \text{Calculam suma primilor 4 termeni:}\\\\ 7^1+7^2+7^3+7^4=7+49 + 343+2401=2800~\vdots~50\\ \text{Vom imparti sirul in grupe de cate 4 termeni.}\\\\ \text{Avem voie deoarece avem 100 de termeni si 100 se divide cu 4.}\\\\ (7^1+7^2+7^3+7^4)+(7^5+7^6+7^7+7^8)+\cdots+\\ +(7^{97}+7^{98}+7^{99}+7^{100})=\\\\ =(7^1+7^2+7^3+7^4)+7^4(7^1+7^2+7^3+7^4)+\cdots+\\ +7^{96}(7^1+7^2+7^3+7^4)=\\\\[/tex]

[tex]\displaystyle\\ =(7^1+7^2+7^3+7^4)+7^4(7^1+7^2+7^3+7^4)+\cdots+\\ +7^{96}(7^1+7^2+7^3+7^4)=\\\\ =(7^1+7^2+7^3+7^4)(1+7^4+\cdots+7^{96}) =\\ = \boxed{2800(1+7^4+\cdots+7^{96})~\vdots~50}[/tex]