Question

a) Aflați câte numere impare dau prin impartire la 2018 catul egal cu restul.
b) Aflați restul împărțirii la 2018 a sumei tuturor numerelor de la punctul a.

Answer 1

D = C×I + R
D = C×2018 + R,  (0≤R<2018)


D trebuie sa fie impar.
=> D ∈ {1×2018 + 1, 3×2018 + 3, 5×2018 + 5, ... ,2017×2018 + 2017}
=> D ∈ {(1×2-1)×2018+1, (2×2-1)×2018+3, (3×2-1)×2018+5, 
            ,(1009×2-1)×2018+2017}

Punctul a) 1009 numere.

Punctul b)

S = (1×2018 + 1) + (3×2018 + 3) + (5×2018 + 5) + ... + (2017×2018 + 2017)
S = 2018×(1+3+5+...+2017) + 1+3+5+...+2017
S = (1+3+5+...+2017)×(2018+1)
S = (1+3+5+...+2017)×2019
S = (1+3+5+...+(2×1009-1)×2019
S = 1009²×2019

(1009²×2019) : 2018 = 
=(1009²×(2018+1)) : 2018 = 
=(1009²×2018):2018+1009² : 2018 = 
  {       R  = 0             }

Deci, restul lui 1009²×2019 la 2018 este acelasi cu cel al lui 1009² la 2018, iar restul este 1009.

Este o proprietate.
Daca avem a² : (2×a), restul acestei impartiri va fi a.
Nu stiu sa demonstrez, dar asa este.