Question

a) Aflati toate numerele de forma 17x8y (cu bara deasupra) astfel incat sa fie divizibile cu 140

b) Aflati toate numerele de forma 53x0y (cu bara deasupra) astfel incat sa fie divizibile cu 110

Answer 1

a) 17x8y sa fie divizibil cu 140, atunci e divizibil cu :

140=4*5*7

-cf. criteriului de divizibilitate cu  5=>  y ∈{0,5}
-cf.  criteriului de divizibilitate cu 4, nr.format de ultimele sale 2 cifre este divizibil cu 4.
=> y=0, pt ca 85 nu este divizibil cu 4

-cf criteriului de divizibilitate cu  7:  diferenta dintre numarul format din ultimele 3 cifre ale numarului dat si cel ramas este divizibila cu 7
Deci x80-17 sa fie divizibil cu 7
=> $\frac{}{x80}$-17=7*k

100*x+80-17=7*k
100*x+63=7*k

k=$\frac{100*x}{7}$ +9

singura varianta in care k ∈|N este daca x=7

=> numarul cautat 17x8y sa fie divizibil cu 14 este 17780
________________________________________________________

b) 53x0y sa fie divizibile cu 110, atunci e divizibil cu :
110=2*5*11

-cf. criteriului de divizibilitate cu  5=>  y ∈{0,5}
-cf. criteriului de divizibilitate cu  2 =>  y ∈{0,2,4,6,8}

=> y=0
 -cf criteriului de divizibilitate cu 11 :diferenta dintre numarul format din ultimele 3 cifre ale numarului dat si cel ramas este divizibila cu 11

$\frac{}{x00}$- 53 =11*k

100*x -53 =11*k
daca x poate fi :x∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9} , 100*x va da un numar terminat in 00 , drept urmare numerele pe care le analizam sunt 147,247,347,447,547,647,847,947
=> singurul x ce verifica egalitatea este x=9 (numarul div. cu 11 este 847)

=> numarul cautat 53x0y sa fie divizibile cu 110 este 53900.