Question

a) Arătați că 2¹ + 2² + ... + 2¹⁰⁰ divizibil cu 3.
b) Arătați că (2¹⁵ · 5¹³ - 1) divizibil cu 3.
c) Arătați că (2⁶⁰ - 1) divizibil cu 5.

Answer 1

Pai este simplu:
a) Se scrie asa : 2^0(2^1+2^2)+2^2(2^1+2^2)+....+2^98(2^1+2^2)
Dupa cum observi toate parantezele sunt multiplu de 3 deci toata suma este multiplu de 3
b)2^15*5^13-1=10^13*2^2-1=4*10*13-1= 40000.....000-1 (de 13 ori 10) care o sa fie egal cu 3999....9 (de 12 ori 9) si asta o sa aiba suma cifrelor un multiplu de 3, deci numarul e multiplu de 3.
c)Cat despre asta, putem observa ca ultima cifra al lui 2^60 este 6. Cand numarul va fi scazut cu 1 atunci va avea ultima cifra 5, care o sa fie multiplu de 5 conform criiteriului.
Sper ca te-am ajutat

Answer 2

a) 2(2^100  -1) : (2-1) = 2(2^50 -1)(2^50 + 1) = 2(2^50 - 1)(2+1)(2^49-2^48+...+1), deci miltiplu de 3 si astfel divizibil cu 3.

b) = 10^15 : 5^2  -  1 =  100 : 25 - 1 = 4x10^13 -1 = 4x 999...999(12 cifre de 9), deci divizibil cu 3 pentru ca atat 12 cat si cifrele de 9 insumate sunt divizibile cu 3.

c) =(2^30 -1)(2^30 + 1) = (2^30 - 1)((2^2)^10 + 1) = (2^30 - 1)(2^2+1)((2^2)^9 - (2^2)^8+...+1) = 5x ceilalti factori, deci multiplu de 5