Question

a) Aratati ca numărul a=2+2la put 2+2 la put 3+....+2 la put 2012 este divizibil cu 15.
b) Determinați numerele reale x și y știind ca x la put 2+ y la put 2 +4x -8y+20=0.

Answer 1

a) Observam ca 2+2^2+2^3+2^4 = 30 = 2*15, deci incercam sa dam aceasta suma factor comun

a = 2+2^2+2^3+2^4 + (2+2^2+2^3+2^4)*2^4 + ... + (2+2^2+2^3+2^4)*2^2008

a = (2+2^2+2^3+2^4)*(1+2^4+2^8+...+2^2008) = 2*15*(1+2^4+2^8+...+2^2008) ⇒ a este divizibil cu 15

b) x²+y²+4x-8y+20 = 0

x²+4x+4 + y²-8y+16 = 0

(x+2)² + (y-4)² = 0, si cum x²≥0, pentru orice x real ⇒ (x+2)² = 0 si (y-4)²=0 ⇒ x+2 = 0 si y-4 = 0 ⇒ x = -2, y = 4