Question

a) Arătați că numărul n = 3^23 ⋅ 4^23 - 2^21 ⋅ 6^23 este pătratul unui număr natural.
b) Arătați că numărul n= 3^2011 + 2 ⋅ 3^2010 + 3^2009 + 3^2008 este pătratul unui număr natural.

A).=Rezolvam!
B).=Nu Rezolvam!
Ok?

Answer 1

a) (3*4)^23 - 6^23 *2^21=

= 12^23 - 6^23 *2^21

=6^23 * 2^23 - 6^23 *2^21

=6^23 * 2^21 ( 2^2 -1)

= 6^23 * 2^21 *3

=3^21 * 2^21 * 2^21 * 3

= 3^22 * 2^42

=(3^11)^2 * (2^21)^2

=(3^11 * 2^21)^2  patrat perfect

b) 3^2011 + 2 ⋅ 3^2010 + 3^2009 + 3^2008

=3^2008 *(3^3 + 2* 3^2  + 3 +1)

= 3^2008 *(27 + 2*9 + 3 +1)

=3^2008 * (27 +18 + 4)

=3^2008 * 49

=(3^1004)^2 * 7^2

=(3^1004 * 7)^2  patrat perfect