Question

a)Arătați că  $\frac{1}{ \sqrt{(n+1)*n}*( \sqrt{n+1}+ \sqrt{n}) } } = \frac{ \sqrt{n+1}- \sqrt{n} }{ \sqrt{n+1}* \sqrt{n} }$ , oricare ar fi n∈N*;
b) Calculati suma:
S=$\frac{1}{ \sqrt{2*1}*( \sqrt{2}+ \sqrt{1}) }+$+[tex] \frac{1}{ \sqrt{3*2}*( \sqrt{3}+ \sqrt{2)} }+...+ \frac{1}{ \sqrt{100*99}*( \sqrt{100}+ \sqrt{99)} } }
[/tex] .

Answer 1

a) Scrii ca produsul mezilor = produsul extremilor, si folosind formula $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ se ob'ine egalitate evidenta.
b) Aplici egalitatea de la punctul precedent si obtii
S=$\frac{\sqrt2-\sqrt1}{\sqrt2\cdot\sqrt1} + \frac{\sqrt3-\sqrt2}{\sqrt3\cdot\sqrt2} +... \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt n}{\sqrt{n+1}\cdot\sqrt n}$

Acum desfaci fiecare fractie in doua, dupa regula: $\frac{a-b}{c} = \frac{a}{c} - \frac{b}{c}$, apoi simplifici fiecare fractie.
Dupa aceasta se reduc toate fractiile, afara de prima si ultima, deci rezultatul este 1-1/100=99/100.