Question

a, b, c apartin intervalului (0,+inf) si trebuie demonstrata inegalitatea din poza. Va rog sa imi aratati cum.​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Salut, trebuie sa aplici inegalitatea dintre media aritmetica si cea geometrica.

Reamintesc: $\dfrac{x+y}{2}\geq\sqrt{x\cdot y},\forall x,y\in\mathh{R_+}$

Inegalitatea are loc daca x=y.

In cazul de fata se aplica inegalitatea pentru toate cele trei paranteze:

$\dfrac{a+b}{2}\geq\sqrt{a\cdot b}\Rightarrow a+b\geq 2\sqrt{a\cdot b}\\\dfrac{b+c}{2}\geq\sqrt{b\cdot c}\Rightarrow b+c\geq 2\sqrt{b\cdot c}\\\dfrac{a+c}{2}\geq\sqrt{a\cdot c}\Rightarrow a+c\geq 2\sqrt{a\cdot c}\\\texttt{Prin inmultirea realtiilor obtinem:}\\(a+b)(b+c)(a+c)\geq 2\cdot 2\cdot 2\cdot\sqrt{a\cdot b\cdot b\cdot c\cdot a\cdot c}=8\sqrt{(abc)^2}=8abc\\Q.E.D.$