Question

a,b,c apartin lui Q.Daca a/b+c=b/a+c=c/a+b;arunci a=b=c

Answer 1

Răspuns

a=b=c

Explicație pas cu pas:

Daca spui ca e Q+, atunci se rezolva in felul urmator:

$\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}$

Vom lua fiecare egalitate in parte si vom face mezii cu extremii, si vom obtine (vom lua prima si a doua):

$a(a+c)=b(b+c)\\ a^2+ac=b^2+bc\\ a^2-b^2+ac-bc=0\\ (a-b)(a+b)+c(a-b)=0\\ (a-b)(a+b+c)=0$

Doua numere inmultite fac 0 doar daca vreounul dintre ele este 0.

Cazul 1

Daca (a-b)=0 => a=b

Continuam si mai facem asta la una din egalitatile de sus (sa zicem prima si ultima):

$a(a+b)=c(b+c)\\ a^2+ab=c^2+bc\\ a^2-c^2+ab-bc=0\\ (a-c)(a+c)+b(a-c)=0\\ (a-c)(a+b+c)=0$

Ajungem din nou la o concluzie asemanatoare: (a-c)=0 => a=c

Asadar, a=b=c.

Cazul 2

Vom verifica ce se intampla cand a+b+c=0. Aici aveam dileme. Dar daca e Q+ multimea, singurele 3 numere pozitive care adunate sa dea 0, sunt 0+0+0. Asadar, da, a=b=c.

Cazul 2 e putin cam ciudatel, dar daca spui ca e multimea Q+, atunci cam asta e raspunsul.