Question

a)Care poate fi ultima cifra a unui numar natural patrat perfect?
b)Care dintre numerele urmatoare sunt patrate perfecte:100;1302;2157;144;2 la puterea 36×5 la puterea 7 +3.

Answer 1

Patratele perfecte sunt 1, 4, 9, 16, 25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400.
Deci ultima cifra poate fi 0, 1, 4, 5, 6,9.

 b) 100 , 144

Answer 2

1)  un patrat perfect are ultima cifra  0,1,4,5,6 sau 9
2)  nu orice numar care are ultima cifra 0,1,4,5,6,9 e patrat perfect
3)  pentru ca un numar sa fie patrat perfect trebuie sa aibe un numar impar de divizori naturali
4)  pentru ca un numar natural sa fie patrat perfect trebuie sa se descompuna in factori primi la puteri pare

la a) ai raspuns la 1)
la b) aplici 4)

100=2^2 x 5^2 este pp pentru ca are div. primi la puteri pare
1302= 2x3x7x31 nu e pp
2157=3 x 719 nu e pp
144=3^2 x 2^4 e pp
2^36 x 5^(7+3) e pp (am presupus ca exponentul lui 5 este 7+3)
daca e de forma:
2^36 x 5^7 + 3 atunci aplica 1)
U(2^36 x 5^7 + 3)=U[U(2^4)^9 x U(5^7) +3]=U(6 x 5 +3)=3 nu e pp

U(2^4)=6 si 6 la orice putere se termina cu 6
U(5^7)=5 e mai mult decat evident